Что такое прямоугольник квадрат параллелограмм треугольник. Как доказать, что параллелограмм - прямоугольник. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
Прямоугольник представляет собой частный случай параллелограмма. Любой прямоугольник является параллелограммом, но не каждый параллелограмм – прямоугольник. Доказать, что параллелограмм является прямоугольником, можно, используя признаки равенства треугольников.
Инструкция
Вспомните определение параллелограмма. Это четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны. Кроме того, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Этим же свойством обладает и прямоугольник, только он должен соответствовать еще одному условию. Углы, прилежащие к одной стороне, у него равны и составляют каждый 90°. То есть в любом случае вам нужно будет доказать именно то, что у заданной фигуры не только стороны параллельны и равны, но все углы являются прямыми.
Решите, всегда ли или не всегда верно каждое из этих утверждений. Если это иногда верно, нарисуйте и опишите фигуру, для которой утверждение истинно, и другое значение, для которого утверждение неверно. Трапеция - это четырехугольник.
- Ромб - квадрат.
- Треугольник - параллелограмм.
- Квадрат - параллелограмм.
- Квадрат - ромб.
- Параллелограмм представляет собой прямоугольник.
Начертите параллелограмм АВСD. Разделите сторону АВ пополам и поставьте точку М. Соедините ее с вершинами углов С и D. Вам нужно доказать, что углы МАС и МВD равны. Сумма их, согласно определению параллелограмма, составляет 180°. Для начала же вам надо доказать равенство треугольников МАС и МВD, то есть что отрезки МС и MD равны между собой.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
В тех случаях, когда список определяющих атрибутов для первой формы является подмножеством определяющих атрибутов второй фигуры, тогда утверждения всегда будут истинными. В тех случаях, когда список определяющих атрибутов для второй формы является подмножеством определяющих атрибутов первой формы, тогда утверждения иногда будут истинными.
Когда эта задача используется в инструкции, учителя должны уделять первоочередное внимание Стандарту для математической практики 6: Посещать точность. Студенты должны основывать свои рассуждения, ссылаясь на длину стороны, боковые отношения и угловые меры.
Сделайте еще одно построение. Разделите сторону СD пополам и поставьте точку N. Рассмотрите внимательно, из каких геометрических фигур состоит теперь исходный параллелограмм. Он составлен из двух параллелограммов AMND и MBCN. Его можно представить и состоящим из треугольников DMB, МАС и МВD. То, что AMND и MBCN являются одинаковыми параллелепипедами, можно доказать, исходя из свойств параллелепипеда. Отрезки АМ и МВ равны, отрезки NC и ND равны тоже и представляют они собой половинки противоположных сторон параллелепипеда, которые по определению одинаковы. Соответственно, линия MN будет равна сторонам AD и ВС и параллельна им. А значит, у этих одинаковых параллелепипедов диагонали будут равны, то есть отрезок MD равен отрезку MC.
Это правда, когда ромб имеет 4 прямых угла. Это неправда, когда ромб не имеет прямых углов. Вот пример, когда ромб представляет собой квадрат. Вот пример, когда ромб не является квадратом. Треугольник представляет собой трехстороннюю фигуру. Параллелограмма представляет собой четырехстороннюю фигуру с двумя наборами параллельных сторон.
Квадраты представляют собой четырехугольники с четырьмя конгруэнтными сторонами и четырьмя прямыми углами, а также два набора параллельных сторон. Параллелограммы представляют собой четырехугольники с двумя наборами параллельных сторон. Так как квадраты должны быть четырехугольными с двумя множествами параллельных сторон, то все квадраты являются параллелограммами.
Сравните треугольники МАС и МВD. Вспомните признаки равенства треугольников. Их три, и в данном случае удобнее всего доказывать равенство по трем сторонам. Стороны МА и МB одинаковы, поскольку точка М находится как раз на середине отрезка AB. Стороны АD и BC равны по определению параллелограмма. Равенство сторон MD и MC вы доказали в предыдущем шаге. То есть треугольники равны, а это значит, что равны и все их элементы, то есть угол МАD равен углу МВС. Но эти углы прилежат к одной стороне, то есть сумма их составляет 180°. Разделив это число пополам, вы получите размер каждого угла - 90°. То есть все углы данного параллелограмма являются прямыми, а это значит, что он представляет собой прямоугольник.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника
Квадраты - четырехугольники с 4 конгруэнтными сторонами. Поскольку ромбы - четырехугольники с 4 конгруэнтными сторонами, квадраты по определению также являются ромбами. Параллелограмм - это прямоугольник. Это верно, когда параллелограмм имеет 4 прямых угла. Это неверно, если параллелограмм не имеет прямых углов.
Вот пример, когда параллелограмм представляет собой прямоугольник. Вот пример, когда параллелограмм не является прямоугольником. Трапеция представляет собой четырехугольник. Трапеции должны иметь 4 стороны, поэтому они всегда должны быть четырехугольными.
Четырехугольник - это фигура, состоящая из четырех точек, которые последовательно соединены четырьмя отрезками. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырехугольника.
Джефф преподает среднюю школу английского, математического и других предметов. Имеет степень магистра в области письменности и литературы. Четырехсторонние объекты больше, чем просто квадраты и прямоугольники. В этом уроке мы обсудим четырехугольники, параллелограммы и трапеции. Мы также обсудим полигоны, объекты, которые могут иметь больше сторон, чем вы можете сосчитать.
Они все в порядке, но вы слышите о них повсюду. А как насчет более необычных форм? Те, у кого смешные имена и странные свойства. Но что вы видите в этом слове? Четырехъядерный. Или, может быть, около трех человек, чем нормальный человек. Четырехугольник - это всего лишь четырехсторонняя форма.
Параллелограмм.
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны (рис.1).
Теорема:
Свойства параллелограмма:
Прямоугольник.
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис.2.1).
Квадраты и прямоугольники - четырехугольники. Так что более необычные формы, такие как бумеранг ниже. Что мы знаем о четырехугольниках? Если они имеют четыре стороны, они также имеют четыре вершины или углы. И, хотя эти вершины могут быть любым углом, им нужно добавить до 360 градусов. Все углы 90 градусов.
Теперь, что с этим бумерангом? Независимо от того, как вы меняете углы, они всегда складываются. Периметр любого четырехугольника - это всего лишь сумма четырех сторон. Каждый квадрат четырехугольник? У них всегда есть ровно четыре стороны, так что да. Но есть ли каждый четырехугольник квадрат? И некоторые другие вещи, такие как параллелограммы.
Свойства прямоугольника:
| 1) Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами (рис.2.2). 2) Диагонали прямоугольника равны (рис.2.3). 3) Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам (рис.2.3). 3) Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора, рис.2.4): Вы помните, что означает параллель? Две параллельные линии - это две линии, которые никогда не будут встречаться. Они напоминают линии, окрашенные по сторонам бесконечной прямой дороги. Параллелограмм представляет собой четырехстороннюю форму с противоположными сторонами, параллельными. Из-за параллельных линий противоположные стороны равны по длине. Существуют некоторые уникальные свойства углов внутри параллелограммов. Во-первых, противоположные углы равны. Кроме того, смежные углы являются дополнительными, что означает, что они составляют до 180 градусов. Периметр параллелограмма ниже, где стороны 4, 4, 5 и 5, является. c 2 = a 2 + b 2 4) Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали). |
Ромб.
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис.3.1).
Когда у нас есть определенный тип четырехугольника, как тот, который приведен ниже, мы можем определить его площадь. Площадь параллелограмма - это базовая высота. Помните, что высота - это расстояние от основания до вершины, так что, когда эта сторона составляет 4 дюйма, высота фактически составляет 3 дюйма. Таким образом, площадь 7 раз 3 или 21 кв. Дюймов.
Это та же формула области, что и квадраты и прямоугольники. И, если вы помните, квадраты и прямоугольники также имеют наборы параллельных сторон, поэтому они оба параллелограммы! Но, что, если параллельна только одна группа сторон четырехугольника? Тогда он не может быть параллелограммом. Трапеция - это четырехсторонняя форма с хотя бы одним набором параллельных сторон. Она может иметь два и быть параллелограммом. Но если две стороны параллельны, то это просто скромная трапеция.
Свойства ромба:
Квадрат.
Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис.4.1).
Другое определение:
Квадрат - это ромб, у которого все углы прямые.
Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Это странное имя, и это может быть какая-то странная форма. Вы знаете, на что это мне напоминает? Вот откуда взялось это имя! Как стол, две стороны, или настольная, и база, или пол, должны быть параллельными. Если нет, ваш плохой фрикадель может свалиться со стола и выйти из двери.
Итак, в трапеции параллельные стороны называются основаниями. И, как и со столом, другие стороны называются ногами. Периметр такой же, как и с параллелограммами. Периметр этой трапеции? Основания составляют 8 дюймов и 6 дюймов. Площадь немного сложнее. Вы не можете просто умножать базовую высоту, потому что базы различны. Таким образом, площадь трапеции равна среднему значению оснований, умноженному на высоту.
Свойства квадрата:
Трапеция.
Трапеция - это четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны (рис.5).
Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной .
Давайте найдем область этого. Помните, что высота - это расстояние от одной базы до другой. Высота этой трапеции составляет 4 дюйма. Мы говорим о четырехсторонних объектах, но что такое термин, который также включает фигуры с различным количеством сторон?
Это многоженство или брак нескольких людей. Таким образом, многоугольник представляет собой замкнутую двумерную форму со многими сторонами и углами Многоугольники полигамны, поскольку они представляют собой формы, которые соединяют несколько сторон и углы. Их больше нет, у них может быть три или восемь, например восьмиугольник, или миллион, как мегафон. Им не нужно иметь параллельные линии или прямые углы. Если вы думаете об этом, это означает, что треугольник является многоугольником. Это квадраты, прямоугольники и, да, четырехугольники, параллелограммы и трапеции.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Высотой трапеции называется отрезок, соединяющий основания под прямым углом.
Общие свойства трапеции:
| 1) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Все они закрытые формы со многими сторонами, поэтому они все полигоны! Периметр многоугольника - это всего лишь сумма сторон. Это 3 для верхней фигуры ниже, 5 для левой и 8 для фигуры справа. Поскольку многоугольники могут стать ужасно сложными, определение их областей - это более продвинутая математика, чем мы собираемся войти сюда. Но независимо от того, насколько велика или мала эта отметка остановки, вам все равно нужно повиноваться ей! Таким образом, четырехугольник представляет собой любую четырехстороннюю форму. Параллелограмм представляет собой четырехстороннюю форму с противоположными сторонами, которые параллельны и равны по длине. Трапеция представляет собой четырехстороннюю форму с по меньшей мере одним набором параллельных сторон. Площадь трапеции равна среднему значению оснований, превышающих высоту. 2) Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. 3) Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - полусумме оснований. 4) У равнобокой трапеции углы при основании равны. 5) В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Наконец, многоугольник представляет собой замкнутую двумерную форму со многими сторонами. Все от треугольника до восьмиугольника до мегагона - это тип многоугольника. Для всех этих форм периметр представляет собой сумму сторон. В конце этого урока вы сможете.
6) Радиус вписанной окружности равен квадратному корню отрезков боковой стороны, на которые делит эту сторону вписанная окружность точкой касания: r = √a 1 a 2 7) Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности. 8) Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Противоположные стороны параллельны и конгруэнтны. Диагонали делят друг друга пополам. Но есть и вещи, которые делают прямоугольники больше, чем просто средний параллелограмм. Давайте посмотрим, почему мы можем утверждать, что диагонали конгруэнтны. Если показать, что диагонали являются конгруэнтными, это отличный способ показать, что фигура представляет собой прямоугольник, когда вы уже знаете, что фигура является параллелограммом. Другие способы включают показ того, что форма имеет 4 прямых угла. Если вы уже знаете, что форма представляет собой параллелограмм, вам нужно будет только показать, что один из углов является прямым углом, а затем будет следовать, что все углы являются прямыми углами. Докажите, что следующие четыре точки образуют прямоугольник при подключении по порядку. 9) Свойство четырех точек: в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии. 10) Отрезок, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований. 11) Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности. Шаг 2: Докажите, что фигура является параллелограммом. Существует 5 различных способов доказать, что эта форма является параллелограммом. Покажите, что обе пары противоположных сторон конгруэнтны. - Покажите, что обе пары противоположных сторон параллельны. - Покажите, что одна пара сторон параллельна и конгруэнтна. - Покажите, что диагонали делят друг друга пополам. - Покажите, что противоположные углы конгруэнтны. Шаг 3: Затем докажите, что параллелограмм представляет собой прямоугольник. Мы можем это сделать, показывая, что диагонали конгруэнтны или показывают, что один из углов является прямым углом. Легче будет показать, что один из углов является прямым углом, потому что мы уже вычислили все наклоны. |
Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции:
| 1) Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - полусумме оснований. 2) Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. 3) В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны. 4) В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны. 5) Только равнобедренную трапецию можно вписать в окружность. 6) Вписанная окружность делит боковые стороны равнобедренной трапеции на два отрезка, корень произведения которых равен радиусу вписанной окружности: r = √ab 7) Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. 8) Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований. |
Другие свойства трапеции:
Предыдущая статья: Как разделить жесткий диск на разделы Как разбить на разделы в биосе Следующая статья: Перезаправляемые картриджи для струйных принтеров CANON, EPSON, HP Цветной лазерный мфу с перезаправляемыми картриджами